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Curve Cryptoswap 第8章（附录）用隐函数求导推导 AMM 现货价

用隐函数求导这一统一技巧，推导恒定和、恒定乘积、Curve V1/V2 的现货价 dy/dx，理解 get_p 的本质。

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Curve Cryptoswap 第8章（附录）用隐函数求导推导 AMM 现货价

Curve Cryptoswap 第 8 章（附录）：用隐函数求导算 AMM 现货价（dy/dx）

前面几章我们一直说”现货价 spot price”，比如重锚要用的 last_prices 就是池子的现货价，由数学库的 get_p 算出。但 get_p 凭什么能算出现货价？这一章用一个统一的数学技巧——隐函数求导（implicit differentiation）——把恒定和、恒定乘积、Curve V1、Curve V2 的现货价一次性推出来。看完你会明白：所有 AMM 的”价格”本质都是同一个东西——不变量曲线在当前点的切线斜率。

目录

1. 现货价到底是什么

现货价（spot price） 是”无穷小交易”的价格——你买入一丁点点 y，需要付出多少 x。数学上就是：

现货价 = -dy/dx  （在当前余额点处）

几何意义：把 AMM 的不变量画成一条曲线（x 轴是币 X 的数量，y 轴是币 Y 的数量），现货价就是曲线在当前点的切线斜率（取负）。

  • 交易就是沿着这条曲线移动。
  • 移动一点点，y 减少 dy、x 增加 dx，比值 dy/dx 就是此刻的边际价格。

所以”算现货价”= “算不变量曲线在当前点的斜率”。

2. 为什么需要隐函数求导

AMM 的不变量通常写成 F(x, y) = 常数 的形式，比如：

  • 恒定和：x + y = D
  • 恒定乘积：x · y = L²
  • Curve V1/V2：更复杂的混合式

这些式子里，y 没有被单独解出来写成 y = f(x) 的显式形式（Curve 的式子甚至根本解不出漂亮的显式 y）。但我们仍想求 dy/dx。

隐函数求导正是为这种”y 藏在方程里、没法显式解出”的情况设计的：它不要求你先解出 y，就能直接求出 dy/dx。

3. 隐函数求导的核心公式

设不变量是 F(x, y) = 0（把常数移到左边）。对方程两边关于 x 求导，注意 y 是 x 的隐函数，用链式法则：

∂F/∂x + ∂F/∂y · dy/dx = 0

解出：

        ∂F/∂x
dy/dx = − ───────
        ∂F/∂y

于是现货价：

现货价 = −dy/dx = (∂F/∂x) / (∂F/∂y)

一句话总结这套方法：对不变量分别求 x 的偏导和 y 的偏导，两者相除，就是现货价。 下面把四种 AMM 套进这个公式。

4. 例 1：恒定和 AMM

不变量：F(x, y) = x + y − D = 0

求偏导：

∂F/∂x = 1
∂F/∂y = 1

现货价：

−dy/dx = (∂F/∂x)/(∂F/∂y) = 1/1 = 1

结论：恒定和的现货价永远 = 1，与余额无关。 这正是第 2 章说的”恒定和零滑点、价格被钉死在 1”——数学上就是这条直线的斜率恒为 -1。

5. 例 2：恒定乘积 AMM（Uniswap）

不变量：F(x, y) = x · y − L² = 0

求偏导：

∂F/∂x = y
∂F/∂y = x

现货价：

−dy/dx = (∂F/∂x)/(∂F/∂y) = y / x

结论：恒定乘积的现货价 = y/x（池子里 Y 的量 ÷ X 的量）。

这非常符合直觉：

  • 如果池子里 Y 很多、X 很少（y/x 大），说明 Y 相对便宜、X 相对贵，用 X 买 Y 的价格（每个 X 能换的 Y）就高。
  • 交易会改变 x、y，从而改变 y/x → 这就是滑点的来源。

6. 案例：用具体数字验证恒定乘积现货价

设 Uniswap 池子 x = 100 ETH，y = 300,000 USDC，则 L² = 100·300,000 = 30,000,000。

现货价（用 ETH 计价，即 1 ETH = ? USDC）：

现货价 = y / x = 300,000 / 100 = 3,000 USDC/ETH ✅

验证滑点：现在买 1 个 ETH（x 减少到 99），由 x·y = 30,000,000 求新 y：

新 y = 30,000,000 / 99 = 303,030.3 USDC
你要付的 USDC = 303,030.3 - 300,000 = 3,030.3 USDC

注意：你买 1 个 ETH 实际付了 3,030.3 USDC，比现货价 3,000 略高——这 30.3 USDC 就是滑点（因为这不是”无穷小”交易）。如果只买 0.001 个 ETH，平均价就会非常接近现货价 3,000。

这印证了第 9 节要讲的关键区分：现货价（边际、无穷小）≠ 成交价（有限金额的平均价）。

7. 例 3：Curve V1（Stableswap）

Curve V1 的不变量（两币简化）大致是：

F(x, y) = A·n^n·(x + y) + D = A·D·n^n + D^(n+1)/(n^n·x·y)

（不必纠结具体形式，重点是它同时含有 x+y（和项）和 x·y（积项）。）

套同样的方法对 x、y 求偏导再相除，会得到一个介于 1（恒定和） 和 y/x（恒定乘积） 之间的现货价表达式：

  • 当池子平衡（x≈y）且 A 很大 → 现货价 ≈ 1（像恒定和，低滑点）。
  • 当池子严重失衡 → 现货价 → y/x（像恒定乘积，避免被掏空）。

这正是第 2 章讲的”两条曲线缝合”在现货价层面的体现：Stableswap 的价格在平衡区几乎不动（≈1），失衡时才开始像 Uniswap 那样滑动。

8. 例 4：Curve V2（Cryptoswap）与 get_p

Curve V2 的不变量（第 2 章那条）更复杂：

F = K·D^(N-1)·Σxᵢ + Πxᵢ − K·D^N − (D/N)^N = 0
其中 K = A·K0·(γ/(γ+1-K0))²,  K0 = Πxᵢ·N^N/D^N

求它的现货价同样是”求偏导再相除”，只不过：

  • 这里有 N 个变量（三币池 N=3），所以是对每一对币求偏导比，得到每对币之间的现货价。
  • K 本身又依赖所有 xᵢ（通过 K0），所以求偏导时要用乘积法则 + 链式法则，展开后非常长。

合约里 get_p(xp, D, A_gamma) 干的就是这件事——把这套偏导比的结果用定点数实现出来，直接返回 coin1/coin2 相对 coin0 的现货价。

你不需要手推这个庞大的偏导表达式（那是 Curve 团队和审计员的工作）。本章真正要你带走的是这个统一视角：

从恒定和到 Curve V2，所有 AMM 的现货价都是同一个东西——不变量曲线在当前点的切线斜率，都可以用”两个偏导相除”求出。get_p 只是把 V2 那条复杂曲线的斜率算出来而已。

而第 7 章里 last_prices = get_p(...) 拿到的就是这个现货价，再喂给 EMA 变成 price_oracle，最终驱动重锚。整门课的逻辑链到这里闭环了。

9. 现货价 vs 成交价：别混淆

最后澄清一个极易混淆的点：

现货价（spot price）成交价（execution price）
定义无穷小交易的边际价 −dy/dx有限金额交易的平均价 Δy/Δx
几何曲线在当前点的切线斜率起点到终点的割线斜率
用途喂给预言机、算 last_prices用户实际换到多少（第 4 章 exchange 的 dy）
有无滑点无（理想边际）有（金额越大滑点越大）
  • 第 4 章你 exchange 实际拿到的是成交价（含滑点和手续费）。
  • 第 7 章预言机跟踪的是现货价（get_p 算的边际价）。

两者在”交易无穷小”时相等，金额越大差距越大。第 6 节的例子就量化了这个差距（现货 3000，买 1 ETH 的成交价 3030.3）。

10. 本章小结

  1. 现货价 = −dy/dx = 不变量曲线在当前点的切线斜率，是”无穷小交易”的边际价格。
  2. 不变量写成 F(x,y)=0，用隐函数求导：现货价 = (∂F/∂x)/(∂F/∂y)，无需把 y 显式解出来。
  3. 套用结果：
    • 恒定和 → 现货价 = 1（钉死，零滑点）。
    • 恒定乘积 → 现货价 = y/x（随余额变，有滑点）。
    • Curve V1 → 介于 1 和 y/x 之间（平衡≈1，失衡→y/x）。
    • Curve V2 → 同理但更复杂，由 get_p 用定点数实现。
  4. get_p 算出的现货价就是第 7 章的 last_prices，经 EMA 变 price_oracle，驱动重锚——全课逻辑闭环。
  5. 切记区分现货价（边际、喂预言机）和成交价（平均、含滑点、用户实得）。

11. 动手练习

这是一个偏数学/脚本的练习，用来把”隐函数求导算现货价”亲手验证一遍。

练习 1：数值验证恒定乘积现货价

用 Python（或任意语言）写一个小脚本：

  1. 设 x=100, y=300000，L2 = x*y。
  2. 数值求导：算 (y(x-h) - y(x+h)) / (2h) 的负值，h 取很小（如 1e-6），其中 y(x) = L2/x。
  3. 和解析现货价 y/x = 3000 对比，应几乎相等。
  4. 再算”买 1 个 ETH 的成交价”（第 6 节方法），观察它略大于现货价。

练习 2：链上验证 get_p 就是现货价

主网分叉，针对 TriCrypto：

  1. 调用数学库或池子的方式拿到当前 last_prices(0/1)（即 get_p 的结果），记下来。
  2. 用 get_dy(i, j, dx) 做两次报价：一次 dx 很小（如 0.001 ETH），一次 dx 较大（如 10 ETH）。
  3. 把每次的”有效汇率”= dy/dx 算出来。
  4. 验证：dx 越小，有效汇率越接近 last_prices（现货价）；dx 越大，偏离越多（滑点）。这就实证了”现货价 = 无穷小交易的极限价”。
interface ITriCrypto {
    function get_dy(uint256 i, uint256 j, uint256 dx) external view returns (uint256);
    function last_prices(uint256 i) external view returns (uint256);
}

练习 3（高级，选做）：手推两币 Curve V1 的现货价

  1. 写出两币 Stableswap 不变量 F(x,y)=0。
  2. 用第 3 节公式求 (∂F/∂x)/(∂F/∂y)。
  3. 验证：令 A→∞ 时表达式 → 1（恒定和）；令 A→0 时 → y/x（恒定乘积）。
  4. 体会”一个参数 A 如何在两种极端曲线之间连续过渡”——这正是 Curve 全部魔法的数学根源。

🎉 全课程完结

恭喜你走完了 Curve Cryptoswap 的全部核心内容！回顾这条主线：

  1. 第 2 章 数学：用 K、gamma 把恒定和与恒定乘积缝在一起，price_scale 让中心价可移动。
  2. 第 3 章 合约总览：三合约架构、状态变量打包省 gas、A/gamma 缓慢 ramp。
  3. 第 4 章 兑换：保持 D 不变定价、get_y 反解、动态手续费自我修复。
  4. 第 5 章 添加流动性：按 D 增量铸 LP、失衡费惩罚不按比例存入。
  5. 第 6 章 移除流动性：按比例（免费）vs 单币（收费）两种路径。
  6. 第 7 章 价格重锚：EMA 抗操纵预言机、两道闸门、小步移动、永不亏本。
  7. 第 8 章 附录：隐函数求导统一所有 AMM 的现货价，逻辑闭环。

接下来最好的巩固方式，就是把每章末尾的练习用 Foundry 真正跑一遍。祝你 DeFi 开发之路顺利！

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