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Curve V1 第2章 数学基础：StableSwap 不变量与牛顿法求 D

拆解 Curve V1 (StableSwap) 的核心不变量方程，讲透参数 A 如何在恒定和与恒定乘积间插值，以及合约如何用牛顿迭代求解 D 和 y。

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Curve V1 第2章 数学基础：StableSwap 不变量与牛顿法求 D

Curve V1 第 2 章：数学基础（Math）

Curve V1（StableSwap）是专为锚定资产（如 DAI/USDC/USDT 都≈1 美元）设计的 AMM。它的全部魔法都浓缩在一条不变量方程里。这一章用通俗的语言把这条方程、参数 A 的作用，以及合约里靠”牛顿迭代法”求解 D 和 y 的过程彻底讲清楚。吃透这一章，后面的合约代码都只是它的工程实现。

目录

1. Curve V1 要解决什么问题

设想你要在 DAI 和 USDC 之间兑换。它们都应该≈1 美元，理想情况下 1 DAI 换 1 USDC。

  • 如果用 Uniswap（恒定乘积）：哪怕换一大笔，价格也会明显偏离 1，产生不必要的滑点。对”本该 1:1”的稳定币来说，这种滑点是纯粹的浪费。
  • 如果用 恒定和（x+y=常数）：能做到 1:1 零滑点，但一旦市场上 DAI 稍微脱锚，套利者会把池子里便宜的那种币全部买空。

Curve V1 的目标：

对锚定资产，在价格接近 1:1 时提供接近零滑点的兑换；但当价格严重失衡时，又能像 Uniswap 一样永不被掏空。

它的做法就是把上面两条曲线”缝”在一起——这正是本章的主线。

2. 两条基础曲线的回顾

设池子里两种币数量为 x、y。

曲线公式滑点会被掏空吗
恒定和x + y = D零（价格恒为 1）会
恒定乘积x · y = (D/2)²大不会
  • 恒定和：图像是一条直线，斜率 -1，所以价格永远是 1，但一端可以被取到 0。
  • 恒定乘积：图像是一条双曲线，永远不碰坐标轴（x、y 都取不到 0），所以不会被掏空，但价格随比例剧烈变化。

Curve 想要：“在中间（x≈y）像直线一样平，在两端像双曲线一样翘起来。“

3. StableSwap 不变量：把两条曲线缝起来

Curve V1 的不变量方程（N 种币，3pool 里 N=3）：

A · n^n · Σxᵢ  +  D  =  A · D · n^n  +  D^(n+1) / (n^n · Πxᵢ)

记号说明：

  • xᵢ：第 i 种币的余额（已统一到 18 位精度，见第 3 章 _xp）。
  • n：币种数量（3pool 是 3）。
  • Σxᵢ：所有币余额之和（恒定和的影子）。
  • Πxᵢ：所有币余额之积（恒定乘积的影子）。
  • A：放大系数（amplification coefficient）。
  • D：不变量，代表池子”完全平衡时的总价值”。

怎么理解这条方程”缝合了两条曲线”？看 A 的两个极端：

  • A → ∞：等式左边 A·n^n·Σxᵢ 和右边 A·D·n^n 占绝对主导，其它项可忽略，方程退化成 Σxᵢ = D → 恒定和（零滑点）。
  • A → 0：含 A 的项全消失，只剩 D = D^(n+1)/(n^n·Πxᵢ)，整理后得 Πxᵢ = (D/n)^n → 恒定乘积（不被掏空）。

所以 A 就是那个”缝合旋钮”：A 越大越像恒定和（适合锚定资产），A 越小越像恒定乘积。Curve 给稳定币池设一个很大的 A（3pool 历史上 A≈2000），让它在 1:1 附近非常平。

4. 参数 A：放大系数（曲线有多”平”）

直觉图景：把不变量画成 x-y 曲线。

  • A 大 → 曲线在中间（x≈y）那一段非常平，几乎是斜率 -1 的直线 → 这一段内交易几乎零滑点。
  • A 小 → 曲线整体接近 Uniswap 双曲线 → 处处有明显滑点。

但注意：A 大不等于永远零滑点。一旦池子被推得很失衡（比如某种币占比远超其它），曲线就会”翘起来”，重新变得像双曲线，从而保护池子不被掏空。A 只是把”低滑点的甜区”做得很宽。

5. 案例：A 大和 A 小时报价的差别

设两币池，DAI 和 USDC 各 100 万（完全平衡，D≈200 万）。你要卖 10 万 DAI 换 USDC。

  • A 很大（如 2000）：曲线在这一带极平，你大约能换到 ≈99,990 USDC（几乎 1:1，滑点仅约 0.01%）。
  • A 很小（≈0，退化成 Uniswap）：按 x·y=k 计算，卖 10 万 DAI（x: 100万→110万），新 USDC = 100万·100万/110万 ≈ 909,090，换出 ≈ 90,909 USDC（滑点高达约 9%！）。

同样一笔交易，A 大的池子滑点 0.01%，A 小的池子滑点 9%。这就是 Curve 为稳定币兑换省下的钱。 这也解释了为什么稳定币交易者偏爱 Curve。

6. 不变量 D 是什么

D 可以这样理解：

D ≈ 池子完全平衡时的代币总量。 平衡时每种币各持有 D/n，总价值就是 D。

  • 100 万 DAI + 100 万 USDC + 100 万 USDT 的平衡池，D ≈ 300 万。
  • 交易不改变 D（这是”不变量”的含义）——交易只是沿着曲线移动，把一种币换成另一种。
  • 增/减流动性会改变 D（池子变大/变小）。
  • D 还用来衡量 LP 份额价值：virtual_price = D / LP总量（第 3 章）。

问题来了：给定各币余额 xᵢ，怎么从那条复杂方程里解出 D？方程里 D 的最高次幂是 D^(n+1)（3pool 是 D⁴），没有求根公式。于是要用数值方法——牛顿迭代法。

7. 为什么要用牛顿迭代法

牛顿法（Newton’s method）是一种”猜一个初值，然后反复修正、越来越接近真解”的数值方法。它适合解那些没有解析解的方程。

基本思想：

  1. 先猜一个 D 的初值（Curve 用 D = Σxᵢ 作起点，因为平衡时 D≈Σxᵢ）。
  2. 用一个递推公式把 D 修正得更准。
  3. 重复，直到两次结果几乎不变（差 ≤ 1），就认为收敛了。

Curve 的实现里最多迭代 255 次，但实际上通常几次就收敛（对稳定币池尤其快）。

8. 牛顿法求 D：合约公式拆解

合约 get_D 的核心循环（简化）：

S = Σxᵢ                  # 所有余额之和
D = S                    # 初值
Ann = A · n              # 注意这里是 A·n（合约里 Ann = amp * N_COINS）
重复最多 255 次:
    D_P = D
    for each x in xp:
        D_P = D_P · D / (x · n)     # 这步迭代后 D_P ≈ D^(n+1)/(n^n·Πx)
    D = (Ann·S + D_P·n) · D / ((Ann-1)·D + (n+1)·D_P)
    if |D - D_prev| <= 1: break      # 收敛，退出

理解关键的两步：

  1. D_P 是什么：循环 D_P = D_P·D/(x·n) 跑完 n 次后，D_P = D^(n+1) / (n^n · Πxᵢ)。这正是不变量方程右边那个”恒定乘积项”。

  2. 更新公式 D = (Ann·S + D_P·n)·D / ((Ann-1)·D + (n+1)·D_P)：这是把不变量方程用牛顿法整理后的迭代式。你不需要手推它，只要知道它每次都让 D 更接近真解。

实务上不必背公式，理解”D_P 代表乘积项、整个循环在数值逼近 D”即可。

9. 案例：手动迭代算一次 D

用一个小例子感受收敛。设 两币池（n=2），x = [100, 100]（已平衡），A = 100，则 Ann = A·n = 200。

  • S = 100 + 100 = 200
  • 初值 D = 200

第 1 次迭代：

D_P = D = 200
  乘 x[0]=100:  D_P = 200·200/(100·2) = 40000/200 = 200
  乘 x[1]=100:  D_P = 200·200/(100·2) = 200
（平衡时 D_P 正好 = D = 200）

D_new = (Ann·S + D_P·n)·D / ((Ann-1)·D + (n+1)·D_P)
      = (200·200 + 200·2)·200 / ((200-1)·200 + 3·200)
      = (40000 + 400)·200 / (39800 + 600)
      = 40400·200 / 40400
      = 200

D 一步就稳定在 200，|200-200|=0 ≤ 1，收敛。这符合直觉：完全平衡的池子 D = Σxᵢ = 200。

如果池子不平衡（比如 x=[150,50]），第一次迭代 D 会偏离 200 一点，再迭代几次收敛到一个略小于 200 的值——因为失衡的池子”等效平衡价值”会略低。

10. 牛顿法求 y：swap 定价的核心

兑换时要回答：“我加进 dx 个币 i，为了让 D 不变，币 j 应该剩多少 y？” 这就是 get_y。

它解的是固定 D、固定其它币、对 y 的方程。把不变量整理成关于 y 的二次方程：

y² + (b - D)·y = c    →    y = (y² + c) / (2y + b - D)

其中（合约 get_y 里）：

  • b = S' + D/Ann，S' 是除 j 外其它币（含已加 dx 的 i）之和。
  • c = D^(n+1) / (n^n · Π其它币 · Ann)。

同样用牛顿迭代 y = (y² + c)/(2y + b - D)，初值 y = D，反复到收敛（差 ≤ 1）。

求出 y 后，换出量 dy = (旧的 xp[j] − y − 1)（−1 向下取整偏向池子），再换算回真实单位、扣手续费。这部分第 4 章详讲，这里只要知道：swap 的定价 = 用牛顿法解一个二次方程求 y。

对比记忆：get_D 解的是高次方程（求 D，初值 Σx）；get_y 解的是二次方程（求某币余额，初值 D）。两者都用牛顿迭代，但 y 的方程简单得多（二次有明确递推）。

11. 本章小结

  1. Curve V1 为锚定资产设计，目标是平衡区近零滑点、失衡时不被掏空。
  2. 核心是 StableSwap 不变量：A·n^n·Σxᵢ + D = A·D·n^n + D^(n+1)/(n^n·Πxᵢ)，把恒定和与恒定乘积缝起来。
  3. 参数 A 是缝合旋钮：A→∞ 像恒定和（低滑点），A→0 像恒定乘积（不被掏空）；A 越大低滑点甜区越宽。
  4. D 是不变量，≈池子平衡时的总币量；交易不改变 D。
  5. D 的方程是高次的、无解析解，用牛顿迭代 get_D 数值求解（初值 Σxᵢ，迭代到差≤1）。
  6. swap 定价用 get_y：固定 D 解关于某币的二次方程，同样牛顿迭代。

12. 动手练习

目标：先在脑子/脚本里把”牛顿法求 D”跑通，再到链上验证你的理解。

练习 1：用脚本实现 get_D

用 Python（或任意语言）实现上面第 8 节的 get_D 循环：

  1. 输入 xp = [1_000_000e18, 1_000_000e18, 1_000_000e18]（3pool 三种币各 100 万，18 位精度），A = 2000，n = 3。
  2. 按公式迭代，打印每一轮的 D，观察它几轮收敛。
  3. 预期：平衡池 D ≈ 3,000,000e18。

练习 2：链上验证 D 与 A

主网分叉，针对 3pool（0xbEbc44782C7dB0a1A60Cb6fe97d0b483032FF1C7）：

interface IStableSwap3Pool {
    function A() external view returns (uint256);
    function balances(uint256 i) external view returns (uint256);
    function get_virtual_price() external view returns (uint256);
}
  1. 读 A()，打印（看看真实的 A 是多少）。
  2. 读 balances(0/1/2)（DAI/USDC/USDT），把它们各自换算到 18 位精度（USDC/USDT 要乘 1e12），用你练习 1 的脚本算 D。
  3. 读 get_virtual_price()，断言 >= 1e18（手续费让它只增不减）。
  4. （进阶）验证 D ≈ virtual_price · totalSupply / 1e18。

进阶思考（选做）

  • 把池子改成严重失衡（如 xp=[2_800_000e18, 100_000e18, 100_000e18]），重跑 get_D，观察 D 比平衡时小，并思考为什么。
  • 把 A 从 2000 改成 1，重算同一笔 swap 的报价，量化滑点差异（呼应第 5 节）。

运行

forge test --evm-version cancun --fork-url $FORK_URL \
  --match-path test/CurveV1Math.t.sol -vvv

下一章（第 3 章 合约总览）讲：A 怎么存储和缓慢调整（ramp_A）、_xp 怎么把不同精度的稳定币统一、get_virtual_price 和 calc_token_amount 各自的用途。

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