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Uniswap V3 第3章 数学：集中流动性的核心方程

推导 Uniswap V3 集中流动性的核心方程：流动性 L 与 token 数量和价格的关系、虚拟储备、以及区间内 x 和 y 的计算。

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Uniswap V3 第3章 数学：集中流动性的核心方程

Uniswap V3 第 3 章：数学——集中流动性方程

这一章是 V3 的数学心脏。我们推导三个关键公式：流动性 L 与价格、token 数量的关系、虚拟储备（V3 怎么”假装”自己是 V2）、以及给定区间 [Pa,Pb] 需要多少 x 和 y。掌握它们，后面的 swap 和 liquidity 章节就是水到渠成。

目录

1. 从 V2 到 V3：虚拟储备的思想

V2 的池子真实持有 x 和 y，满足 x·y=k。V3 的 LP 只在区间 [Pa,Pb] 提供流动性，但在这个区间内部，池子的行为和一个 V2 池子一模一样——只是这个”等效 V2 池”的储备是虚拟的（virtual reserves）。

核心思想：

  • V3 在区间内表现得像一个 x_v · y_v = L² 的恒定乘积池（x_v, y_v 是虚拟储备）。
  • 但 LP 实际只需投入”真实储备”——也就是把虚拟双曲线平移，只保留 [Pa,Pb] 这一段所需的资产。
  • 区间外的虚拟储备不需要真的存在，因为价格永远不会走到那里（走到区间边界，头寸就全变成单一资产了）。

2. 流动性 L 的定义

虚拟储备满足 x_v · y_v = L²，且：

x_v = L / √P        y_v = L · √P

验证：x_v · y_v = (L/√P)·(L·√P) = L² ✓。

L 就是这个等效恒定乘积池的”流动性深度”（类比 V2 的 √k）。在一个不跨 tick 的 swap 过程中，L 保持不变，价格 √P 沿着曲线移动。跨越 tick 时 L 才会改变（下一章）。

由 x_v = L/√P、y_v = L·√P 也可反解：

L = x_v · √P  （由 x 一侧）
L = y_v / √P  （由 y 一侧）

3. 核心公式：x 和 y 关于 L 和 √P

把上面两式记牢，这是 V3 一切计算的基础：

x = L / √P          （token0 数量与 √P 成反比）
y = L · √P          （token1 数量与 √P 成正比）

直觉：

  • 价格 P 上涨（√P 变大）→ x 变少、y 变多。符合”token0 涨价了，池子里 token0 被买走、token1 增多”。
  • swap 的本质就是沿这条曲线移动 √P，同时按这两个公式调整 x、y。

由此还能推出 swap 的增量公式（第 4 章会用）：

Δy = L · Δ(√P)           （卖出 y / 买入 y 改变 √P）
Δx = L · Δ(1/√P)         （改变 1/√P）

4. 真实储备曲线：被”平移”的双曲线

V2 的曲线 x·y=k 过原点附近无限延伸（两端贴近坐标轴）。V3 的真实储备曲线是把这条虚拟双曲线向内平移，使它在区间端点处正好碰到坐标轴：

  • 在价格 = Pb（上边界）时，头寸全是 token0（x），y = 0。
  • 在价格 = Pa（下边界）时，头寸全是 token1（y），x = 0。
  • 在 Pa 和 Pb 之间，头寸是 x 和 y 的混合。

平移量正好是”区间外那部分虚拟储备”。所以 LP 只需投入”真实储备”（区间内那段），却能获得等同于一个大得多的虚拟池的深度——这就是资本效率提升的数学来源。

图像上：V3 真实储备曲线是 V2 双曲线的一小段，被平移后两端真的碰到了坐标轴（V2 永远碰不到）。碰到坐标轴 = 头寸变单一资产 = 价格走出区间。

5. 区间内需要多少 x 和 y

设当前价格 Pc，区间 [Pa, Pb]（Pa < Pb），流动性 L。需要投入的真实数量：

若 Pc ≤ Pa（价格在区间下方）：全是 token0
    x = L · (1/√Pa − 1/√Pb),   y = 0

若 Pc ≥ Pb（价格在区间上方）：全是 token1
    x = 0,   y = L · (√Pb − √Pa)

若 Pa < Pc < Pb（价格在区间内）：两种都要
    x = L · (1/√Pc − 1/√Pb)
    y = L · (√Pc − √Pa)

这三组公式就是 NonfungiblePositionManager.mint 背后算”你要存多少 x 和 y”的依据。记忆方法：

  • x（token0）的量和”上半区间 [Pc, Pb]“有关，用 1/√ 的差。
  • y（token1）的量和”下半区间 [Pa, Pc]“有关，用 √ 的差。

6. 案例：在 [2700, 3300] 提供流动性

设 ETH/USDC，当前 Pc = 3000，区间 [Pa=2700, Pb=3300]，想提供 L = 1,000,000（示意值）。先算平方根：

√Pa = √2700 ≈ 51.96
√Pc = √3000 ≈ 54.77
√Pb = √3300 ≈ 57.45

价格在区间内（2700 < 3000 < 3300），两种币都要：

x = L · (1/√Pc − 1/√Pb) = 1,000,000 · (1/54.77 − 1/57.45)
  = 1,000,000 · (0.018258 − 0.017407) = 1,000,000 · 0.000851 ≈ 851  (token0 单位)

y = L · (√Pc − √Pa) = 1,000,000 · (54.77 − 51.96)
  = 1,000,000 · 2.81 ≈ 2,810,000  (token1 单位)

所以提供这个头寸，你大约需要按比例投入 851 单位的 token0 和 2,810,000 单位的 token1（具体单位/精度按池子代币定）。如果价格涨到 3300，x 会被换光（全变 token1）；跌到 2700，y 会被换光（全变 token0）。

7. 三种价格位置的资产形态

当前价 Pc 相对区间头寸资产形态是否赚手续费
Pc ≤ Pa（跌破下界）全是 token1（Y）❌ 不赚（价格不在区间内）
Pa < Pc < Pb（区间内）token0 + token1 混合✅ 赚手续费
Pc ≥ Pb（涨破上界）全是 token0（X）❌ 不赚

关键认知：只有当前价格落在你的区间内时，你的流动性才被使用、才赚手续费。 价格走出区间，你的头寸”睡着了”，变成单一资产静静躺着，直到价格回来。这就是 V3 LP 要主动管理区间（甚至用机器人再平衡）的原因。

8. 本章小结

  1. V3 在区间内表现得像 V2 恒定乘积池，但储备是虚拟的：x_v·y_v = L²。
  2. 核心公式：x = L/√P，y = L·√P；增量 Δy = L·Δ√P，Δx = L·Δ(1/√P)。
  3. 真实储备曲线 = 虚拟双曲线被平移，使两端碰到坐标轴（= 头寸变单一资产 = 价格出区间）。
  4. 区间内所需 x、y：x = L(1/√Pc − 1/√Pb)、y = L(√Pc − √Pa)（价格在区间内时）。
  5. 三种位置：跌破下界全是 token1、区间内混合、涨破上界全是 token0；只有区间内才赚手续费。

9. 动手练习

目标：把第 5 节的公式用代码实现，亲手算一个头寸需要的 x 和 y。

练习：计算区间所需 token 数量

写一个脚本/测试（纯数学，可不连链）：

  1. 输入：L、当前价 Pc、区间 [Pa, Pb]。
  2. 先算 √Pa, √Pc, √Pb。
  3. 按第 5 节三种情况，分别实现并返回 (x, y)。
  4. 用第 6 节的数字验证：[2700,3300]、Pc=3000、L=1e6，应得到 x≈851、y≈2.81e6。
  5. 测试边界：令 Pc=2700（=Pa），应得到 y=0（全是 token0）；令 Pc=3300（=Pb），应得到 x=0（全是 token1）。

进阶（链上）

  • 用 V3 的 LiquidityAmounts 库（periphery）里的 getAmountsForLiquidity 验证你的手算结果。
  • 反过来用 getLiquidityForAmounts：给定你愿意投入的 x、y 和区间，算出能得到的 L。

运行

forge test --evm-version cancun --fork-url $FORK_URL \
  --match-path test/UniswapV3Math.t.sol -vvv

下一章（第 4 章 Swap）讲 V3 的兑换算法：单区间内怎么算、跨 tick 时 liquidity net 怎么切换流动性、swap 手续费，以及 SwapRouter 的定输入/定输出。

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